江苏省宿迁市2016-2017学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

发布于:2021-09-27 12:07:54

宿迁市 2016~2017 学年度第一学期高二期末考试

数 学
(考试时间 120 分钟,试卷满分 160 分) 1 n 1 n 参考公式:样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的方差 s 2 ? ? ( xi ? x) 2 ,其中 x ? ? xi . n i ?1 n i ?1 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 写出命题“若 a 2 ? b 2 ,则 | a | ? | b | ”的逆命题 ▲ 2. 抛物线 y ? 4 x 的焦点坐标是 ▲
2

开始

.
S ? 0, n ?1
n ?n ?3

.

Read x If x<5 Then y←2x-2 Else y←x2-2 End If Print y
(第 3 题) (第 4 题)

S ?S ?n n ? 11

N 输出 S 结束 (第 5 题)

Y

3. 如图所示的伪代码,如果输入 x 的值为 5,则输出的结果 y 为 ▲

.

4. 如图,在一个面积为 8 的矩形中随机撒一粒黄豆,若黄豆落到阴影部分的概率为

1 , 4

则阴影部分的面积为 ▲ . 5. 如图是一个算法流程图,则输出的结果 S 为 ▲ . 6.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析,随机抽取了分数在 [100,150] 的 1000 名 学生的成绩,并根据这 1000 名学生的成绩画出频率分布直方图(如图所示) ,则成绩 在[120,130)内的学生共有 ▲ 人. y
频率/组距
a 0.025 0.020 0.015 0.010

l

5 3

y=f(x)

成绩(分)
100 110 120 130 140 150

O

O

3
(第 8 题)

x

7. 设函数 f ( x) ? ln x ?

. x 8. 如图,直线 l 是曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 处的切线, f ?( x) 表示函数 f ( x) 的导函数, 则 f (3) ? f ?(3) 的值为 ▲ . 9. 已知 AB 是圆 C : x ? y ? 4 x ? 2 y ? a ? 0 的一条弦, M (1,0) 是弦 AB 的中点,
2 2

(第 6 题) 1

,则函数 y ? f ( x) 的单调递增区间是 ▲

若 AB ? 3 ,则实数 a 的值是 ▲ . x2 y 2 10.如图,椭圆 2 + 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的上、下顶点分别为 a b

y B2 A1 O B1 A2 x

B2 , B1 ,左、右顶点分别为 A1 , A2 ,若线段 A2 B2 的垂直
1

(第 10 题)

*分线恰好经过 B1 ,则椭圆的离心率是 ▲ 11.若函数 f ( x) ?

.

1 3 x ? x 2 ? 3 x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 3
.

12.若方程 1 ? x2 ? a( x ? 2) 有两个不相等实数根,则实数 a 的取值范围是 ▲

13.在*面直角坐标 xOy 中,已知 A(1, 0) , B(4, 0) ,圆 ( x ? a)2 ? y 2 ? 1 上存在唯一的点 P 满足

PA 1 ? ,则实数 a 的取值集合是 ▲ . PB 2

a2 1 1 14. 设 a>0,函数 f(x)=x+ x ,g(x)=x-lnx,若对任意的 x2∈[ ,1],存在 x1 ?[ ,1] , e e f(x1)≥g(x2)成立,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... 15.(本小题满分 14 分) 如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图,有一个数字被污损,用 a ( 3 ≤ a ≤ 8 且 a ? N )表示. (1)若乙同学算出自己历史*均成绩是 92 分,求 a 的值及乙同学历史成绩的方差; (2)求甲同学历史*均成绩不低于乙同学历史*均成绩的概率. 甲 8 5 4 3 0 8 9 乙 6 8 2

a

8

(第 15 题)

16.(本小题满分 14 分) 已知 p : x2 ? 2 x ? 8 ? 0 , q : ( x ? 1 ? m)( x ? 1 ? m) ≤ 0(m ? 0) . (1)使 p 成立的实数 x 的取值集合记为 A, q 成立的实数 x 的取值集合记为 B, 当 m ? 2 时,求 A ? B ; (2)若 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 2? . 已知圆 O : x2 ? y2 ? a2 ? a ? 0? ,点 A ? 0,4? , B ? 2, (1)若线段 AB 的中垂线与圆 O 相切,求实数 a 的值; (2)过直线 AB 上的点 P 引圆 O 的两条切线,切点为 M , N ,若 ?MPN ? 60? , 则称点 P 为“好点”. 若直线 AB 上有且只有两个“好点” ,求实数 a 的取值范围.

18. (本小题满分 16 分)
2

某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器(不计厚度,长度单位:米) ,按照设计要求, 16 π h ≥ 2 r h 该容器的底面半径为 r ,高为 ,体积为 立方米,且 .已知圆柱的侧面部分 每*方米建造费用为 3 千元,圆柱的上、下底面部分每*方米建造费用为 a 千元,假设 该容器的建造费用仅与其表面积有关,该容器的建造总费用为 y 千元. (1)求 y 关于 r 的函数表达式,并求出函数的定义域; (2)问 r 为多少时,该容器建造总费用最小?

h

r
(第 18 题)

19.(本小题满分 16 分) x2 y 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1,F2,左、右顶点分别为 A1,A2, a b 上、下顶点分别为 B2,B1, ?B2 OF2 是斜边长为 2 的等腰直角三角形,直线 l 过 A2 且垂 直于 x 轴,D 为 l 上异于 A2 的一动点,直线 A1D 交椭圆于点 C. (1)求椭圆的标准方程; (2)若 A1C=2CD,求直线 OD 的方程; ???? ???? (3)求证: OC ? OD 为定值.

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ? x2 ? 2x ? af ( x)(a ? R) , x1 , x2 是两个任意实数且 x1 ? x2 . (1)求函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处的切线方程; (2)若函数 g ( x) 在 R 上是增函数,求 a 的取值范围; x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) (3)求证: f ( 1 2 ) ? . 2 x1 ? x2

3

数学参考答案与评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1.若 | a | ? | b | ,则 a 2 ? b 2 ; 6.300; 2. (1,0) ; 8. 3. 23; 4. 2; 9. 5. 22; 10.
1 e
6 ; 3

+? ) 7. (1, ;

7 ; 3

3 ; 4
14. [

5 11. (?9, ) ; 3

12. ( ?

3 , 0] ; 3

13.

??3, ?1,1,3? ;

, ?? ) ;

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15—17 每小题 14 分,18—20 每小题 16 分,共计 90 分.请 在答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ........... 15.(1)因为乙同学历史*均成绩是 92 分,所以 解得 a ? 6 . 此时乙同学的历史成绩的方差为

86 ? 88 ? 92 ? 98 ? 90 ? a ? 92 , 5
????????3 分

1 104 ;???6 分 [(92 ? 86)2 ? (92 ? 88)2 ? (92 ? 92)2 ? (96 ? 92)2 ? (98 ? 92)2 ] = 5 5
(2)甲同学的历史*均成绩为

88 ? 90 ? 93 ? 94 ? 95 ? 92 分, ???????8 分 5

若甲的历史*均成绩不低于乙同学历史*均成绩, 则

86 ? 88 ? 92 ? 98 ? 90 ? a ≤ 92 ,得 a ≤ 6 . 5

????????10 分

因为 3 ≤ a ≤ 8 ,所以 3 ≤ a ≤ 6 且 a ? N , 记甲同学历史*均成绩不低于乙同学历史*均成绩为事件 A , 则事件 A 包含 4 个基本事件,而基本事件总数共有 6 个, 所以事件 A 的概率 P( A) =

4 2 ? . 6 3

????????13 分

答: (1) a 的值为 6,乙同学历史成绩的方差为

104 ; 5
2 .??14 分 3

(2)甲同学历史*均成绩不低于乙同学历史*均成绩的概率为

16.(1)因为 x2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,所以 ?4 ? x ? 2 ,则 A ? ?x | ?4 ? x ? 2? ;?????2 分 因为 ( x ? 1 ? m)( x ? 1 ? m) ≤ 0(m ? 0) ,所以 1 ? m ≤ x ≤ 1 ? m , 所以 B ? ?x |1 ? m ≤ x ≤1 ? m? ,
4

?????4 分

当 m ? 2 时, B ? ?x | ?1 ≤ x ≤ 3? , 所以 A ? B = ?x | ?1≤ x ? 2? . (2)因为 p 是 q 的充分不必要条件,所以 p ? q 且 q ? p ,
?1 ? m ≤ ?4 则? , ? 1? m≥ 2

?????6 分 ?????7 分 ?????10 分 ?????12 分

解得 m ≥ 5 , 所以当 m ≥ 5 时, q 是 p 的必要不充分条件. ?????14 分

17.(1)由 A ? 0,4? , B ? 2, 2? 得 AB 的中点坐标为 ?1,3? ,直线 AB 的斜率为 ?1 ,……..2 分 所以 AB 的中垂线方程为 y ? 3 ? 1? ? x ? 1? ,即 x ? y ? 2 ? 0 , …………..4 分 又因为 AB 的中垂线与圆 O 相切, 所以圆心 O 到 AB 中垂线的距离 (2)连接 PO, OM , 在 Rt?POM 中, ?OPM ? 30?,OM ? a , 所以 PO ? 2OM ? 2a ,……………………………………………………….8 分 所以点 P 的轨迹是以 O 为圆心, 2 a 为半径的圆,记为圆 O ? , 则圆 O ? 的方程为 x2 ? y 2 ? 4a2 ,……………………………………………..10 分 又因为直线 AB 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,且直线 AB 上有且只有两个“好点” , 则直线 AB 与圆 O ? 相交,所以圆心 O 到直线 AB 的距离 故实数 a 的取值范围是 ( 2, ??) .

2 2

? a ,即 a ? 2 . ……………………6 分

4 2

? 2a ,

…………………….14 分

18.(1)设容器的容积为 V , 由题意知 V =? r 2 h ? 16? ,故 h ?

16 ,………………………………..2 分 r2

因为 h ? 2r ,所以 0 ? r ? 2 ,……………………………………………….4 分 故建造费用 y ? 2? rh ? 3 ? 2? r 2 a ? 6? r ? 即 y ? 2? ar 2 ?

16 ? 2? r 2 a , r2

96? ,0 ? r ? 2 . r

………………………………………….6 分

(2)由(1)得 y ' ? 4? ar ?

96? ? 0 ? r ? 2? , r2
5

令 y ' ? 0 得 r ? 23 ①当 0 ? 2 3

3 , a

……..8 分

3 ? 2 即 a ? 3 时, a

? 3? 3 若 r ?? 0, 2 ? ,则 y ' ? 0 ,函数单调递减; ? a? ? ?

? 3 ? 3 y ' ? 0 ,函数单调递增; 若 r ?? ? 2 a , 2? ? ,则 ? ?
所以 r ? 2 3
3 时,函数取得极小值,也是最小值. a

……………….....12 分

②当 2 3

3 ? 2 即 0 ? a ? 3 时, a

因为 r ? ? 0,2? ,则 y ' ? 0 ,函数单调递减; 则 r ? 2 时,函数取得最小值. ………………………………………...14 分 综上所述: 若 a ? 3 ,当 r ? 2 3
3 时,建造总费用最少; a

若 0 ? a ? 3 ,当 r ? 2 时,建造总费用最少. ………………..16 分

19.(1)因为 ?B2 OF2 是斜边长为 2 的等腰直角三角形, 所以 a ? 2, b ? c , 又因为 a 2 ? b2 ? c 2 ,所以 b 2 ? 2 , 所以椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ?1. 4 2

………4 分

(2)设 C ( x1 , y1 ) , D(2, y2 ) ,
??? ? ??? ? 因为 AC=2CD,所以 AC ? 2CD ,

所以有 ( x1 ? (?2), y1 ? 0) ? 2(2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,

……………6 分

? x1 ? 2 ? 4 ? 2 x1 2 4 所以 ? ,解得 x1 ? ,代入椭圆方程得 y1 ? ? , 3 3 ? y1 ? 2( y2 ? y1 )

则当 y1 ? 当 y1 ? ?

4 时, y2 ? 2 , D(2, 2) ,直线 OD 的方程为 y=x; ……………8 分 3 4 时 y2 ? ?2 , D(2, ?2) ,直线 OD 的方程为 y ? ?x .……………10 分 3

(3) (解法一)设 D(2, y0 ), C ( x1 , y1 ) ,
6

则直线 A1D: 代入椭圆
(1 ?

y ? y0 x ? 2 y 1 ? ,即 y ? 0 x ? y0 , ? y0 ?4 4 2

x2 y 2 ? ?1得 4 2
………………………12 分

2 y0 1 2 1 2 ) x 2 ? y0 x ? y0 ?4?0 . 8 2 2

因为 x1 (?2) ?

2 2 8y 4( y0 ? 8) 2( y0 ? 8) ,所以 , y1 ? 2 0 , x ? ? 1 2 2 y0 ? 8 y0 ?8 y0 ?8

???? 2( y 2 ? 8) 8 y0 则 OC ? (? 20 , 2 ), y0 ? 8 y0 ?8

…………………………14 分

???? ???? 4( y 2 ? 8) 8 y2 4 y 2 ? 32 ? 2 0 ? 0 ? 4 (定值). 所以 OC ? OD ? ? 20 2 y0 ? 8 y0 ? 8 y0 ?8

…16 分

(解法二)由已知直线 A1D 斜率存在,设 A1D 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
? y ? k ( x ? 2) ? 设 C ( x0 , y0 ) 由 ? x 2 y 2 得 x2 ? 2k 2 ( x ? 2)2 ? 4 , ? ? 1 ? ?4 2

即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 , 则 x0 ? (?2) ?

……12 分

4k 8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 , , y0 ? , ? x ? 0 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ? 4k 2 4k 则 C( , ), 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ???? 2 ? 4k 2 4k 故 OC ? ( ………………14 分 , ). 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ? 由 y ? k ( x ? 2) 令 x=2,得 y=4k,则 F (2, 4k ) ,故 OF ? (2,4k )
???? ???? 2 ? 4k 2 4k 所以, OC ? OD = ?2? ? 4k ? 4 (定值)………………16 分 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

20.(1)因为 f ?( x) ? e x , 则切线的斜率为 f ?(0) ? 1 ,切点为 (0,1) ,

………………1 分

所以函数 f ( x) 的图象在 x ? 0 处切线方程为 y ? x ? 1 ; ……………3 分 (2)由 g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? ae x 得 g ?( x) ? ?2x ? 2 ? ae x , 因为函数 g ( x) 在实数集上是增函数, 所以 g ?( x) ? ?2 x ? 2 ? ae x ≥ 0 恒成立, ………………5 分

7

则 a≤

?2 x ? 2 恒成立, ex ?2 x ? 2 , ex 2( x ? 2) =0 得 x ? 2 , ex

令 h( x) ? 由 h?( x) ?

………………7 分

当 x ? (??, 2) 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递减; 当 x ? (2, +?) 时, h?( x) ? 0 ,函数 h( x) 递增; 所以当 x ? 2 时,函数 h( x)min ? h(2) ? 故实数 a 的取值范围是 (??, ?
2 ]. e2 ?2 , e2

………………9 分

(3)要证明 f (

x1 ? x2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) e x1 ? e x2 )? ,即证明 e 2 ? , 2 x1 ? x2 x1 ? x2

只需证明 e

x1 ? x2 2

?

x ?x e x1 ? x2 ? 1 ,不妨设 x1 ? x2 , t ? 1 2 , x1 ? x2 2

只需证明 et ?

e2 t ? 1 (t ? 0 ) , 2t
………………11 分

只需证明 2tet ? e2t ? 1 对 t ? 0 恒成立, 设 h(t ) ? e2t ? 2tet ? 1 ,

则 h?(t ) ? (et ? et )? ? 2tet ? 2et ? 2e2t ? 2tet ? 2et =2et (et ? t ? 1) , 设 ? (t ) ? et ? t ? 1 ,当 t ? 0 时 ? ?(t ) ? et ? 1 ? 0 恒成立, 则 ? (t ) 递增, ? (t ) ? ? (0) ? 0 ,即 h?(t ) ? 0 , ………………13 分

则 h?(t ) ? 0 ,故函数 h (t ) 递增,有 h(t ) ? h(0) ? 0 恒成立, 即 2tet ? e2t ? 1 对 t ? 0 恒成立, 所以 e
x1 ? x2 2

?

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) e x1 ? x2 ? 1 ,即 f ( 1 2 ) ? . 2 x1 ? x2 x1 ? x2

………………16 分

8


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